现代数学简介

现代数学简介

要在一个论坛的破帖子里简介完现代数学，那可不是容易的事情，但是本帖子想这么试试。

现代数学可以认为分为两大部分，映射学和图形学，这两大部分又是互相交织在一起的。

先说映射学。

则首先要有集合的概念。集合是范畴，也就是说，它是不可定义的最基本的母概念，数学的一切概念都是从集合出发的。组成集合的是一些元素，也可以叫一些对象，反正没有定义，它们爱是什么就是什么。有的书上讲这些对象或者元素必须满足一定性质，其实不然，不满足任何性质的一些对象凑在一起也叫集合，比如可以把“风”，“马”，“牛”这三样事情或者东西构成一个集合，虽然是风马牛不相及。

可以把集合中的元素都想像成小精灵，或者想像成“不死的人”就行。因此，可以有一个集合到另一个集合的映射。

映射这件事情，有一个集合A，叫原象集，想象这个集合里的每一个元素，或者说每一个小精灵，手中都拿着一些箭，当然，最常见的是每人只拿着一根箭。另一个集合B，叫像集，当然像集里的小精灵都是挨箭的。A中的小精灵把手中的箭射向B中的小精灵，如果B中的小精灵，每一个人最多只中一箭，这种映射叫单射，而每个人都中了箭，叫满射，每个人中了一箭但是只中一箭，就既是单射又是满射，那叫“一一映射”。

但是，还有一种特殊的映射是这样的，就是有两个原像集A和B，它们可以一样也可以不一样，A中的小精灵拿着弓，B中的小精灵拿着箭，因此，A中的一个小精灵要和B中的一个小精灵配合在一起才能够射出一箭，射到像集合C中的小精灵身上。也就是说，射箭时要一个扶弓，一个射箭，这箭才能够射得出去。称这样的映射叫二元映射。

最常见的像集合叫L，也叫逻辑集合，只有两个小精灵，一个叫“真”，一个叫“假”。而在一个二元映射中，A和B中的小精灵配合着射向L中的“真”和“假”这两个小精灵。

比如说有一种最常见的运算叫“相等”运算，运算也就是映射，是一回事。就是说，A中的小精灵和B中的小精灵如果相等，它们配合着射向L中的“真”，如果不相等，他们配合着射向“假”。这种相等运算满足交换律，就是说，如果扶弓的射箭，射箭的扶弓，结果是一样的。

还有一种运算是非常抽像的“加”运算，A，B，C都是相同的集合，满足交换率和结合率，还有0元素负元素等性质，这里不一一述说。

那么，什么叫交换率呢？想象A中出一精灵a，B中出一精灵b，a扶弓b射箭，射中C中的精灵c1，然后再让a射箭b扶弓，射中C中的精灵c2，再让C中前后中箭的那两个精灵c1,c2配合着射向集合L，是按“相等运算”的映射规则进行射击的，结果总能够射中“真”，这就叫满足交换率了。

由这个例子我们知道，所谓数学的定理啊公理啊引理啊命题啊推论啊，其实都是一些映射的规则，就是说，按照某种规则搭建一个的射击流程，最后总是L中的那个“真”中箭，这就叫定理或者公理了。如果有的时候“真”中箭有的时候“假”中箭，那就不叫定理或者公理了。

上面讲完了映射学。下面讲图形学。

什么是图形？当然就是我们日常生活中见到的各种形状，简单的有方形，圆形，三角形，直线，点，等等图形，复杂的呢？那就相当复杂了，比如一座山的形状，一个树叶的形状。这本来都是很有趣的东西。

问题在于，数学要用一些严格的语言来描述这些图形，这些图形的性质。而且，我们通常生活在三维空间，见到的都是三维以下空间的图形。如果加上时间，则是四维空间的图形。而更多维空间的图形，我们没有生活经验，但是也可以想象，通过想象来生活在多维空间。

但是就三维以下的空间的图形，也是要用严格的数学语言来描述，这一描述可就枯燥得很，本来非常有趣的，非常好玩的图形，一用语言描述，那就呆板得很。

这可以打一个比方，用音乐来比方。我们知道五线谱是用来描述音乐的，因此，训练一个音乐家，就要训练他看着五线谱，脑子里能够想像到音乐，美妙的音乐。因此，一个训练有素的音乐家，能够看着五线谱居然就能够欣赏音乐，他的脑海里能够出现声音，“啊！这音乐好美啊！”他能够享受这种美妙。而一般的人，非要听到那个音乐声，才能够知道这音乐是美的。

而用数学语言描述图形，就相当于用五线谱描述音乐。一般的不懂五线谱的人，看着一个个小蝌蚪会害怕的，觉得很深奥，但是当他听到音乐的时候，就知道美妙了。但是，也有一种学习五线谱的办法，就是让一个人从来就不知道五线谱是描述音乐的，却能够对五线谱的各种规则非常熟悉，这样培养出来的人，不了解五线谱的美妙所在。

因此，要学好数学，就要有想像力，就象音乐大师看着五线谱就能够欣赏音乐一样，看着数学的各种定理，脑海里想像的是绚丽多彩的图形，他才能够欣赏到数学的美。

有一些音乐的声音，比如说上滑音和下滑音，要用五线谱来表示，那可就费劲罗！要看懂它不容易。但是当我们欣赏到这种声音的时候，会觉得很奇妙。

图形学也是这样。比如说，有一类美妙的曲线，是非常光滑的曲线，你就想像一下空间中有一条非常光滑，手摸上去非常顺溜的线，感觉很好，很美妙，道理也很简单。但是，要用数学语言来描述，那就吓人了，你首先要定义什么叫“连续”，然后还要定义什么叫“可导”，这些语言都是极为麻烦的事情。

而确实有一些所谓的数学家，他对于各种描述语言极为熟练，但是脑子里出现不了图形，这样的数学家甚至可以爬到所谓教授的位置，能够写出一些让一般人看不懂的论文，但是，他这一辈子，不知道图形的美妙，不懂得欣赏美，还以为数学就是枯燥无味的那个样子。